Programa Evaluare Națională 2023 - matematică

Mulțimi. Numere

Mulțimi

Descriere, notaţii, reprezentări; mulţimi numerice/nenumerice; relaţia dintre un element şi o mulţime; relaţii între mulţimi
Mulțimi definite printr-o proprietate comună a elementelor lor
Mulţimi finite, cardinalul unei mulţimi finite; mulţimi infinite
Operaţii cu mulţimi: reuniune, intersecţie, diferenţă
Intervale numerice şi reprezentarea lor pe axa numerelor; intersecţia şi reuniunea intervalelor

Mulțimea numerelor naturale

Operaţii cu numere naturale

Scrierea şi citirea numerelor naturale; reprezentarea pe axa numerelor; compararea şi ordonarea numerelor naturale; aproximări, estimări
Adunarea numerelor naturale, proprietăţi; scăderea numerelor naturale
Înmulţirea numerelor naturale, proprietăţi; factor comun
Împărţirea cu rest zero a numerelor naturale; împărţirea cu rest a numerelor naturale
Puterea cu exponent natural a unui număr natural; pătratul unui număr natural; reguli de calcul cu puteri; compararea puterilor; scrierea în baza 10; scrierea în baza 2 (fără operații)
Ordinea efectuării operaţiilor şi folosirea parantezelor
Ordinea efectuării operaţiilor; utilizarea parantezelor: rotunde, pătrate şi acolade
Metode aritmetice de rezolvare a problemelor: metoda reducerii la unitate, metoda comparaţiei, metoda figurativă, metoda mersului invers, metoda falsei ipoteze

Divizibilitatea numerelor naturale

Divizor; multiplu; divizori comuni; multipli comuni
Criterii de divizibilitate cu: 2, 5, $10^n$ , 3 și 9; numere prime; numere compuse
Descompunerea numerelor naturale în produs de puteri de numere prime; aplicaţie: determinarea celui mai mare divizor comun (c.m.m.d.c.) şi a celui mai mic multiplu comun (c.m.m.m.c.); numere prime între ele
Proprietăţi ale divizibilității în $\mathbb{N}$ : $a \vert a, \text{ unde } a \in \mathbb{N} \text{; } a \vert b \text{ şi } b \vert c \Rightarrow a \vert c, \text{ unde } a,b,c \in \mathbb{N} \text{; } a \vert b \text{ şi } a \vert c \Rightarrow a \vert (b \pm c), \text{ unde } a,b,c \in \mathbb{N} \text{; } a \vert bc \text{ şi } (a,b)=1 \Rightarrow a \vert c, \text{ unde } a,b,c \in \mathbb{N}$

Mulțimea numerelor întregi

Mulţimea numerelor întregi; opusul unui număr întreg; reprezentarea pe axa numerelor; modulul unui număr întreg; compararea şi ordonarea numerelor întregi
Adunarea numerelor întregi, proprietăţi; scăderea numerelor întregi
Înmulţirea numerelor întregi, proprietăţi
Împărţirea numerelor întregi când deîmpărţitul este multiplu al împărţitorului
Puterea cu exponent număr natural a unui număr întreg nenul; reguli de calcul cu puteri
Ordinea efectuării operaţiilor şi folosirea parantezelor

Mulțimea numerelor raționale

Fracţii ordinare; fracţii subunitare, echiunitare, supraunitare; procente; fracţii echivalente (prin reprezentări)
Compararea fracţiilor cu acelaşi numitor/numărător; reprezentarea pe axa numerelor a unei fracţii ordinare
Introducerea şi scoaterea întregilor dintr-o fracţie
Amplificarea şi simplificarea fracţiilor; fracţii ireductibile
Aducerea fracţiilor la un numitor comun; adunarea şi scăderea fracţiilor
Înmulţirea fracţiilor, puteri; împărţirea fracţiilor
Fracţii/procente dintr-un număr natural sau dintr-o fracţie ordinară
Fracţii zecimale; scrierea fracţiilor ordinare cu numitori puteri ale lui 10 sub formă de fracţii zecimale; transformarea unei fracţii zecimale cu un număr finit de zecimale nenule în fracţie ordinară
Aproximări; compararea, ordonarea şi reprezentarea pe axa numerelor a unor fracții zecimale cu un număr finit de zecimale nenule
Adunarea şi scăderea fracţiilor zecimale cu un număr finit de zecimale nenule
Înmulţirea fracţiilor zecimale cu un număr finit de zecimale nenule
Împărţirea a două numere naturale cu rezultat fracţie zecimală; transformarea unei fracţii ordinare într-o fracţie zecimală; periodicitate
Împărţirea unei fracţii zecimale cu un număr finit de zecimale nenule la un număr natural nenul; împărţirea a două fracţii zecimale cu un număr finit de zecimale nenule
Transformarea unei fracţii zecimale periodice în fracţie ordinară
Metode aritmetice pentru rezolvarea problemelor cu fracții în care intervin și unități de măsură pentru lungime, arie, volum, capacitate, masă, timp și unități monetare
Număr raţional; mulţimea numerelor raţionale; reprezentarea numerelor raţionale pe axa numerelor, opusul unui număr raţional; modulul; compararea şi ordonarea numerelor raţionale
Adunarea numerelor raţionale; proprietăţi; scăderea numerelor raţionale
Înmulţirea numerelor raţionale; proprietăţi; împărţirea numerelor raţionale; puterea cu exponent număr întreg a unui număr raţional nenul; reguli de calcul cu puteri
Ordinea efectuării operaţiilor şi folosirea parantezelor

Mulțimea numerelor reale

Rădăcina pătrată a pătratului unui număr natural; estimarea rădăcinii pătrate dintr-un număr raţional
Scoaterea factorilor de sub radical; introducerea factorilor sub radical
Numere iraţionale, exemple; mulţimea numerelor reale; incluziunile $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$ ; modulul unui număr real (definiţie, proprietăţi); compararea şi ordonarea numerelor reale; reprezentarea numerelor reale pe axa numerelor prin aproximări
Operaţii cu numere reale (adunare, scădere, înmulţire, împărţire, puteri cu exponent număr întreg); raţionalizarea numitorului de forma $a \sqrt{b}$
Media aritmetică ponderată a $n$ numere reale, $n \geq 2$ ; media geometrică a două numere reale pozitive

Algebră

Calcul algebric

Operații cu numere reale reprezentate prin litere (adunare, scădere, înmulţire, împărţire, ridicare la putere); reducerea termenilor asemenea
Formule de calcul prescurtat
$(a \pm b)^2=a^2 \pm 2ab + b^2 \text{, unde } a,b \in \mathbb{R}$

$(a-b)(a+b)=a^2-b^2 \text{, unde } a,b \in \mathbb{R}$
Descompuneri în factori utilizând reguli de calcul în $\mathbb{R}$ (factor comun, grupare de termeni, formule de calcul prescurtat)
Fracţii algebrice; operații cu acestea (adunare, scădere, înmulțire, împărțire, ridicare la putere)

Ecuații. Inecuații. Sisteme de ecuații

Transformarea unei egalități într-o egalitate echivalentă; identităţi
Ecuaţii de forma $ax+b=0$ , unde $a,b \in \mathbb{R}$ ; mulţimea soluţiilor unei ecuaţii; ecuaţii echivalente
Sisteme de două ecuaţii liniare cu două necunoscute; rezolvare prin metoda substituţiei şi/sau prin metoda reducerii
Probleme care se rezolvă cu ajutorul ecuaţiilor sau a sistemelor de ecuaţii liniare
Inecuaţii de forma $ax+b \geq 0$ , $(\leq,>,<)$ , unde $a,b \in \mathbb{R}$
Ecuaţii de forma $ax^2+bx+c=0$ , unde $a,b,c \in \mathbb{R}$

Funcții

Produsul cartezian a două mulţimi nevide; sistem de axe ortogonale în plan; reprezentarea într-un sistem de axe ortogonale a unor perechi de numere reale; reprezentarea punctelor într-un sistem de axe ortogonale; distanţa dintre două puncte din plan
Reprezentarea şi interpretarea unor dependenţe funcţionale prin tabele, diagrame şi grafice
Funcții definite pe mulțimi finite, exprimate cu ajutorul unor diagrame, tabele, formule; graficul unei funcții, reprezentarea geometrică a graficului unor funcții numerice
Funcţii de forma $f:D \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=ax+b$ , unde $a$ şi $b$ sunt numere reale şi $D$ este o mulţime finită de numere reale sau un interval nedegenerat; interpretare geometrică; lecturi grafice

Geometrie

Noțiuni geometrice fundamentale în plan și spațiu, lungimi de segmente, măsuri de unghiuri

Puncte, drepte, plane, semiplan, semidreaptă, segment: convenţii de notare, reprezentări, determinarea dreptei, determinarea planului, relaţii între puncte, drepte şi plane – descriere, reprezentare, notaţii (notația $AB$ reprezintă dreapta $AB$ , segmentul $AB$ , lungimea segmentului $AB$ sau distanța de la punctul $A$ la punctul $B$ , în funcție de context)
Poziţiile relative ale unui punct faţă de o dreaptă; puncte coliniare; „prin două puncte distincte trece o dreaptă şi numai una”; poziţiile relative a două drepte: drepte concurente, drepte paralele
Drepte paralele (definiţie, notaţie); axioma paralelelor; criterii de paralelism (unghiuri formate de două drepte paralele cu o secantă); aplicații practice în poligoane și corpuri geometrice
Distanţa dintre două puncte; lungimea unui segment; segmente congruente; mijlocul unui segment; simetricul unui punct faţă de un punct
Unităţi de măsură pentru lungime; unităţi de măsură pentru arie; unităţi de măsură pentru volum; transformări ale unităților de măsură
Unghi: definiţie, notaţii, elemente; interiorul unui unghi, exteriorul unui unghi; măsura unui unghi (Notația $\measuredangle AOB$ reprezintă atât unghiul $AOB$ , cât și măsura unghiului $AOB$ , în funcție de context), unghiuri congruente; clasificări de unghiuri: unghi drept, unghi ascuţit, unghi obtuz; unghi nul, unghi alungit; calcule cu măsuri de unghiuri exprimate în grade şi minute sexagesimale
Unghiuri opuse la vârf, congruenţa lor; unghiuri formate în jurul unui punct, suma măsurilor lor; unghiuri suplementare, unghiuri complementare; unghiuri adiacente; bisectoarea unui unghi
Drepte perpendiculare în plan (definiţie, notaţie); oblice; aplicații practice în poligoane și corpuri geometrice; distanţa de la un punct la o dreaptă; mediatoarea unui segment; simetria faţă de o dreaptă

Figuri geometrice: triunghiul, patrulatere, cercul

Triunghiul: definiţie, elemente; clasificare; perimetru; suma măsurilor unghiurilor unui triunghi; unghi exterior unui triunghi, teorema unghiului exterior; inegalităţi între elementele triunghiului
Linii importante în triunghi: bisectoarele unghiurilor unui triunghi: concurenţa, cercul înscris în triunghi; mediatoarele laturilor unui triunghi: concurenţă, cercul circumscris unui triunghi; înălţimile unui triunghi: definiţie, construcţie, concurenţa; medianele unui triunghi: definiţie, construcţie, concurenţa
Congruenţa triunghiurilor oarecare: criterii de congruenţă a triunghiurilor: LUL, ULU, LLL; criteriile de congruenţă a triunghiurilor dreptunghice: CC, IC, CU, IU; metoda triunghiurilor congruente, aplicaţii: proprietatea punctelor de pe bisectoarea unui unghi/mediatoarea unui segment
Proprietăţi ale triunghiului isoscel; proprietăți ale triunghiului echilateral; proprietăţi ale triunghiului dreptunghic (cateta opusă unghiului de 30 , mediana corespunzătoare ipotenuzei – teoreme directe şi reciproce)
Segmente proporţionale; teorema paralelelor echidistante; teorema lui Thales; reciproca teoremei lui Thales; împărţirea unui segment în părţi proporţionale cu numere (segmente) date
Triunghiuri asemenea; criterii de asemănare a triunghiurilor; teorema fundamentală a asemănării, aplicații: raportul ariilor a două triunghiuri asemenea, aproximarea în situații practice a distanţelor folosind asemănarea
Proiecţii ortogonale pe o dreaptă; teorema înălţimii; teorema catetei; teorema lui Pitagora; reciproca teoremei lui Pitagora
Noţiuni de trigonometrie în triunghiul dreptunghic: sinusul, cosinusul, tangenta şi cotangenta unui unghi ascuţit
Rezolvarea triunghiului dreptunghic; aplicaţii: calculul elementelor (latură, apotemă, arie, perimetru) în triunghiul echilateral, în pătrat și în hexagonul regulat; aproximarea în situații practice a distanţelor folosind relaţii metrice
Patrulaterul convex; suma măsurilor unghiurilor unui patrulater convex
Paralelogramul: proprietăţi; aplicaţii în geometria triunghiului: linie mijlocie în triunghi, centrul de greutate al unui triunghi
Paralelograme particulare: dreptunghi, romb, pătrat; proprietăţi
Trapezul, clasificare, proprietăţi; linia mijlocie în trapez; trapezul isoscel, proprietăţi
Perimetre și arii: paralelogram, paralelograme particulare, triunghi, trapez
Cercul; elemente în cerc: centru, rază, coardă, diametru, arc de cerc; unghi la centru; unghi înscris în cerc; măsuri; coarde şi arce în cerc, proprietăţi: la arce congruente corespund coarde congruente şi reciproc, diametrul perpendicular pe o coardă, arce cuprinse între coarde paralele, coarde egal depărtate de centru; tangente dintr-un punct exteior la un cerc; lungimea cercului şi aria discului
Poziţiile unei drepte faţă de un cerc; poziţiile relative a două cercuri
Poligoane regulate înscrise într-un cerc

Corpuri geometrice

Corpuri geometrice: piramida, piramida regulată, tetraedrul regulat; prismă dreaptă, paralelipiped dreptunghic, cub; cilindru circular drept; con circular drept; reprezentare, elemente caracteristice, desfășurări
Paralelism: drepte paralele, unghiul a două drepte, dreaptă paralelă cu un plan, plane paralele, aplicații: secţiuni paralele cu baza în corpurile geometrice studiate; trunchiul de piramidă şi trunchiul de con circular drept
Perpendicularitate: drepte perpendiculare în spațiu, dreaptă perpendiculară pe un plan, aplicații: înălţimea unei piramide, înălțimea unui con circular drept, distanţa dintre două plane paralele, înălţimea prismei drepte, a paralelipipedului dreptunghic, a cilindrului circular drept, a trunchiului de piramidă/con circular drept; plane perpendiculare, aplicații: secțiuni diagonale, secțiuni axiale în corpurile studiate; proiecţii de puncte, de segmente şi de drepte pe un plan; unghiul dintre o dreaptă şi un plan, aplicație: lungimea proiecţiei unui segment; unghi diedru, unghi plan corespunzător diedrului; unghiul a două plane; plane perpendiculare; teorema celor trei perpendiculare; calculul distanţei de la un punct la o dreaptă; calculul distanţei de la un punct la un plan; calculul distanţei dintre două plane paralele
Distanţe şi măsuri de unghiuri pe feţele sau în interiorul corpurilor geometrice studiate
Arii şi volume ale unor corpuri geometrice: piramidă regulată (cu baza triunghi echilateral, pătrat sau hexagon regulat), prismă dreaptă (cu baza triunghi echilateral, pătrat sau hexagon regulat), paralelipiped dreptunghic, cub, cilindru circular drept, con circular drept, trunchi de piramidă regulată, trunchi de con circular drept
Sfera: arie, volum

Organizarea datelor, probabilități și elemente de statistică matematică

Rapoarte. Proporții

Rapoarte; proporţii; proprietatea fundamentală a proporţiilor; determinarea unui termen necunoscut dintr-o proporţie; proporţii derivate
Şir de rapoarte egale; mărimi direct proporţionale; mărimi invers proporţionale; regula de trei simplă

Organizarea datelor, probabilități și elemente de statistică matematică

Elemente de organizare a datelor; reprezentarea datelor prin grafice în contextul proporţionalităţii; reprezentarea datelor cu ajutorul unor softuri matematice; probabilităţi (aplicaţie la rapoarte)
Probleme de organizare a datelor; frecvenţă; date statistice organizate în tabele, grafice cu bare şi/sau cu linii; media unui set de date statistice; poligonul frecvenţelor
Elemente de statistică: indicatorii tendinţei centrale (frecvenţă, medie, mediană, mod şi amplitudine a unui set de date)

programa-EN-2023-pentru-MatematicăDescarcă

Vezi și:

Programa la Limba Română pentru examenul de Evaluare Națională pentru absolvenții clasei a VIII-a

Distribuie