Hei Profu'

Matematic─â ╚Öi alte delicate╚Ťuri

Povestea num─ârului Pi (­ŁŁů)

Cuadratura cercului și numărul pi. Scurtă biografie a celei mai cunoscute constante matematice

Constanta egală cu raportul dintre lungimea unui cerc și diametrul său

ÔÇŁ├ÄnceputurileÔÇŁ num─ârului \pi se pierd undeva ├«n vremuri str─âvechi c├ónd poate vreun iscusit v├ón─âtor a aflat, probabil din ├«nt├ómplare, taina minunat─â a cercului, descoperind num─ârul \pi, adic─â raportul dintre lungimea cercului ╚Öi diametrul acestuia. Pe vremea aceea era asimilat num─ârului 3. ├Än c├ómpia Mesopotamiei, a fost, spre exemplu, descoperit─â o pl─âcu╚Ť─â de c─âr─âmid─â ars─â pe care scria ÔÇŁDac─â 60 este lungimea cercului, a treia parte din 60 este 20. Aceasta este diametrul.ÔÇŁ Acest raport apare, de a asemenea, ├«n cele mai vechi papirusuri egiptene, ├«n scrierile vechilor hindu╚Öi, ale popoarelor din sudul Mexicului, ale chinezilor, dar ╚Öi ├«n Biblie, unde se consemneaz─â: ÔÇŁA mai f─âcut un vas, turnat din aram─â, rotund cu totul, de 10 co╚Ťi de la o margine p├ón─â la cealalt─â ╚Öi gros c├ót cuprinde o sfoar─â lung─â de 30 de co╚Ťi.ÔÇŁ Evident, toate aceste scrieri cuprind procedeul practic, intuitiv de construc╚Ťie ╚Öi nu o demonstra╚Ťie a acestor observa╚Ťii.

O problem─â mai dificil─â dec├ót lungimea cercului ╚Öi care a preocupat oamenii ├«nc─â din preistorie a fost aceea a m─ârimii ariei lui; o problem─â ingenioas─â deoarece conturul cercului fiind o curb─â nu se mai putea ├«ncadra ├«n metoda de m─âsurare a ariilor de tip dreptungi, triunghi, poligon, etc. Sub forma ei ce a pasionat ╚Öi intrigat numeroase genera╚Ťii de ├«n╚Ťelep╚Ťi, aceea de comparare a ariei unui cerc cu a unui p─âtrat, este cunoscut─â drept ÔÇŁproblema cuadraturii cerculuiÔÇŁ, cea mai renumit─â problem─â de geometrie din toate timpurile, cea care se confund─â, practic, cu povestea num─ârului \pi.

Luată în considerare de geometrii greci, ea a fost considerată deosebită mai ales din perspectiva construirii cu rigla și compasul a unui pătrat de arie egală cu a unui cerc, aspect ce i-a preocupat în mare măsură în special pe pitagoreici începând cu secolul al VI-lea î.e.n., scriind nenumărate lucrări pe marginea acestui subiect. Unele dintre cele mai apreciate sunt cele ale lui Hippocrat din Chios care, încercând să rezolve cuadratura cercului a descoperit mai multe figuri cuadrabile și așa-numitele curbe cuadratice.

O arhi-cunoscut─â ­čÖé curb─â cuadratic─â este linia helicoidal─â sau ÔÇŁspirala lui ArhimedeÔÇŁ care descrie o curb─â plan─â determinat─â de locul geometric al unui punct ce se deplaseaz─â cu vitez─â constant─â (plec├ónd dintr-un punct O) pe o dreapt─â ce se rote╚Öte cu vitez─â unghiular─â constant─â ├«n jurul punctului O. Arhimede demonstreaz─â c─â aria cuprins─â ├«ntre prima spir─â ╚Öi semidreapta ini╚Ťial─â OA este egal─â cu o treime din aria cercului de raz─â OA.

Spirala lui Arhimede

Geometrii greci au ar─âtat totu╚Öi, f─âr─â s─â demonstreze imposibilitatea cuadraturii cercului cu rigla ╚Öi compasul, c─â problema nu se ├«ncadreaz─â ├«n a╚Öa-zisele probleme ÔÇŁplaneÔÇŁ, ci mai degrab─â fizice, lucru dovedit abia in secolul al XIX-lea. Pe l├óng─â ├«ncercarea de a g─âsi solu╚Ťia problemei cu ajutorul curbelor cuadrice, unii matematicieni greci, precum Antifon, a intuit metoda ob╚Ťinerii ariei cercului (a╚Öa cum este cunoscut─â ╚Öi azi) prin ├«nscrierea ├«n cerc a unui poligon regulat cu un num─âr c├ót mai mare de laturi. Revenind la aproximarea num─ârului \pi, ├«n scrierea ÔÇŁM─âsurarea cerculuiÔÇŁ a lui Arhimede este dat─â o aproximare a raportului dintre lungimea cercului ╚Öi diametrul s─âu:

3\cfrac{10}{71}\approx3\cfrac{1}{7}

Arhimede a avut astfel posibilitatea s─â determine cu exactitate primele dou─â zecimale ale raportului, aproxim├ónd astfel, a╚Öa cum este ast─âzi cunoscut, \pi=3,14. Valoarea determinat─â de Arhimede a fost folosit─â de astronomii greci pentru determinarea lungimii razei P─âm├óntului. Arhimede, ├«n ├«ncercarea sa de a rezolva problema cuadraturii cercului, este singurul geometru din antichitate care a formulat ╚Öi rezolvat corect problema cuadraturii suprafe╚Ťelor plane m─ârginite de linii curbe, fiind, astfel, precursorul calculului integral ce se va dezvolta abia ├«n secolul al XVII-lea, prin lucr─ârile matematicienilor Newton ╚Öi Leibniz. De╚Öi nu a putut demonstra cuadratura cercului, Arhimede a realizat cuadratura ÔÇŁsegmentului de parabol─âÔÇŁ, ar─ât├ónd c─â aria acestuia este \cfrac{3}{4} din aria triunghiului ce are aceea╚Öi baz─â ╚Öi aceea╚Öi ├«n─âl╚Ťime cu a segmentului de parabol─â.

Interesul pentru num─ârul \pi nu a fost numai al matematicienilor greci. ├Än cea mai veche culegere chinezeasc─â, ÔÇŁMatematica ├«n nou─â p─âr╚ŤiÔÇŁ, prin generalizarea metodei lui Arhimede, consider├ónd un poligon cu 3072 de laturi, s-a ajuns la aproximarea lui \pi cu 5 zecimale exacte, \pi=3,14159. Un alt matematician care a a ar─âtat un interes deosebit asupra num─ârului \pi a fost persanul al-Biruni (973-1048) care, f─âr─â s─â aib─â vreo dovad─â precis─â, credea c─â raportul dintre lungimea cercului ╚Öi diametrul s─âu nu se poate calcula dec├ót aproximativ.

├Äncep├ónd cu dezvoltarea matematicii ├«n Europa (p├ón─â ├«n secolul XI europenii erau mult ├«n urm─â fa╚Ť─â de orientali ├«n acest domeniu) au existat mul╚Ťi matematicieni care au crezut ├«n posibilitatea cuadraturii cercului cu rigla ╚Öi compasul. Printre ei, Jordanus Nemorarius, Campanus din Novara (r─âmas celebru prin traducerea ÔÇŁcomentat─âÔÇŁ a ÔÇŁElementelorÔÇŁ lui Euclid), Thomas Bradwardinus (poreclit ÔÇŁdoctor profundisÔÇŁ, a sus╚Ťinut cuadratura cercului pe baza ÔÇŁunghiului de contingen╚Ť─âÔÇŁ), sau Albertus de Saxa (primul rector al Universit─â╚Ťii din Viena).

De╚Öi provenea din zona umanist─â, fiind cunoscut ca filosof, Nicolaus din Cusa (1401-1464) a fost cel care a deschis calea aproxim─ârilor c├ót mai exacte a num─ârului \pi. ├Äncepe o nou─â er─â ├«n povestea acestui num─âr: compararea rezultatelor aproxim─ârilor ╚Öi, cu ajutorul aproxim─ârilor c├ót mai bune ale lui \pi, rezolvarea problemei cuadraturii cercului ├«n sensul imposibilit─â╚Ťii ei. Chiar dac─â fusese desoperit─â cu mult timp ├«n urm─â de c─âtre Arhimede ╚Öi folosit─â apoi de matematicienii din Orient, metoda poligoanelor ├«nscrise sau circumscrise unui cerc (cu un num─âr din ce ├«n ce mai mare de laturi) este cea care aduce la sf├ór╚Öitul secolului al XVI-lea, 35 de zecimale exacte ale num─ârului \pi, calcul rezultat din folosirea poligonului cu 2^{61} laturi.

├Än cartea sa ÔÇŁVera circuli et hyperbolae quadraturaÔÇŁ din 1667, matematicianul englez James Gregory prezint─â o demonstra╚Ťie prin care dovedea imposibilitatea cuadraturii cercului cu rigla ╚Öi compasul ╚Öi ofer─â o nou─â metod─â de aproximare a num─ârului \pi, folosind, ├«n locul lungimii arcului de cerc cuprins ├«ntre laturile poligoanelor regulate ├«nscrise sau circumscrise cercului, aria sectorului de cerc aproximat─â cu ariile sectoarelor poligoanelor. Ajunge astfel s─â eludeze metodele geometrice clasice folosite p├ón─â atunci, prezent├óndu-l pe \pi ca limita unui ╚Öi convergent de numere (de╚Öi no╚Ťiunea de limit─â era foarte vag─â la acea dat─â)

Evident c─â nu putea r─âm├óne indiferent la chemarea num─ârului \pi marele matematician Leonhard Euler (1707-1783). El ╚Öi-a ├«ndreptat aten╚Ťia asupra ╚Öirurilor de poligoane ├«nscrise sau circumscrise cercului care au acela╚Öi perimetru, metod─â cunoscut─â drept metoda izoperimetrelor, demonstr├ónd urm─âtoarea teorem─â:

Dac─â a_n ╚Öi b_n sunt razele cerucurilor ├«nscrise, respectiv circumscrise unui poligon regulat cu n laturi, iar a_{2^n} ╚Öi b_{2^n} razele cercurilor ├«nscrise, respectiv circumscrise poligonlui regulat cu 2^n laturi, dar de acela╚Öi perimetru P, exist─â rela╚Ťiile:
a_{2^n}=\frac{a_n+b_n}{2}, b_{2^n}=\sqrt{\frac{b_n(a_n+b_n)}{2}}=\sqrt{a_{2^n}b_n}

Trec├ónd la limit─â se poate deduce valoarea lui \pi. Pornind calculul prin metoda trigonometric─â se ob╚Ťine urm─âtorul rezultat:

    \[\frac{2}{\pi}=\lim_{n \to \infty}\cos{\frac{\pi}{4}}\cos{\frac{\pi}{8}}\cos{\frac{\pi}{16}}…\cos{\frac{\pi}{2^{n+2}}}\]


Euler mai prezint─â ├«n volumul I al c─âr╚Ťii ÔÇŁOpuscula analiticaÔÇŁ, dou─â frac╚Ťii continue care exprim─â num─ârul \pi:

    \[\frac{\pi}{2}=1+\frac{2}{3+\frac{1\cdot3}{4+\frac{3\cdot5}{4+\frac{5\cdot7}{4+…}}}}\]



    \[\frac{4}{\pi}=1+\frac{2}{7+\frac{1\cdot3}{8+\frac{3\cdot5}{8+\frac{5\cdot7}{8+…}}}}\]



Cu pu╚Ťin timp ├«nainte, demonstr├ónd o teorem─â (╚Öi reciproca ei) enun╚Ťat─â de T.F. Lagny:

Dac─â tangenta trigonometric─â a unui arc de cerc este num─âr ira╚Ťional, atunci lungimea arcului corespunz─âtor este un num─âr ra╚Ťional

un alt mare matematician, J.H. Lambert (1660-1777) reu╚Öe╚Öte s─â demonstreze riguros faptul c─â num─ârul \pi este ira╚Ťional (plec├ónd de la rela╚Ťia tg\frac{\pi}{4}=1, f─âc├ónd astfel un pas important spre clarificarea naturii acestuia. Folosindu-se de teoria frac╚Ťiilor continue a lui Euler, exprim─â ╚Öi el num─ârul \pi sub aceast─â form─â:

    \[\frac{\pi}{4}=\frac{1}{1+\frac{1^2}{2+\frac{3^2}{2+\frac{5^2}{2+…}}}}\]



Aceast─â ingenioas─â demonstra╚Ťie a ira╚Ťionalit─â╚Ťii num─ârului \pi a fost reluat─â ├«n 1794 de c─âtre A.M. Legendre (1752-1883), acesta demonstr├ónd ╚Öi ira╚Ťionalitatea num─ârului \pi^2.

Cu toate c─â se ob╚Ťinuser─â ├«nc─â din secolul al XVIII-lea aceste dou─â rezultate impresionante, problema cuadraturii cercului era ├«nc─â departe de a fi ├«nchis─â, put├óndu-se desena m─ârimi ira╚Ťionale cu rigla ╚Öi compasul. Cam ├«n aceea╚Öi perioad─â, John Machin (1685-1715) a ajuns la calculul cu exactitate a primelor 100 de zecimale ale lui \pi. Pornind de la o serie a lui Gregory ╚Öi folosind o teorem─â a tangentei trigonometrice, a ajuns la urm─âtoarea dezvoltare ├«n serie, care a fost folosit─â de Euler pentru determinarea alteia:

    \[\frac{\pi}{4}=(\frac{1}{2}-\frac{1}{3\cdot2^3}+\frac{1}{5\cdot2^5}-…)+(\frac{1}{3}-\frac{1}{3\cdot3^3}+\frac{1}{5\cdot3^5}-…)\]



cu ajutorul c─âreia stabile╚Öte 128 de zecimale ale lui \pi. Tot el este cel care consacr─â nota╚Ťia ÔÇŁ\piÔÇŁ, introdus─â prima oar─â de W.Jones – reprezent├ónd ini╚Ťiala cuv├óntului grecesc ÔÇŁperiphereiaÔÇŁ, pentru raportul dintre lungimea cercului ╚Öi a diametrului acestuia.

Povestea num─ârului \pi ar fi trebuit s─â se termine ├«n anul 1882 c├ónd Carl Louis Ferdinand Lindemann (1852-1939) demonstreaz─â extrem de riguros c─â num─ârul \pi este transcendent ╚Öi, astfel, este imposibil─â cuadratura cercului cu rigla ╚Öi compasul. El pleac─â de la real╚Ťia lui Euler: e^{i\pi}+1=0, scriind-o sub forma e^{i\pi}+e^0=0 ╚Öi baz├óndu-se pe o ecua╚Ťie de tip Hermite, demonstreaz─â o alt─â rela╚Ťie care duce la concluzia clar─â c─â num─ârul \pi nu poare fi ira╚Ťional algebric, ci transcendent.

├Äns─â b─âtaia pentru aflarea c├ót mai multor zecimale exacte ale num─ârului \pi a continuat cu William Shanks (707 zecimale), dar mai ales o dat─â cu apari╚Ťia calculatoarelor. Primul calculator folosit ├«n acest scop a calculat ├«n 1949 primele 2037 de zecimale ├«n aproximativ 70 de ore. Mai t├órziu, ├«n 1973, milionul de cifre zecimale este dep─â╚Öit.

Formula preferată de programatori pentru a calcula un număr cât mai mare de zecimale cu ajutorul thenologiei avansate se bazează pe o dezvoltare foarte ingenioasă descoperită de Srinivasa Ramanujan la începutul secolului al XX-lea

    \[\frac{1}{\pi}=\frac{2\sqrt{2}}{9801}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(4k)!(1103+26390k)}{{(k!)^4}396^{4k}}\]

O alt─â formul─â de descoperire recent─â este formula BaileyÔÇôBorweinÔÇôPlouffe care permite calcularea ├«n scriere binar─â sau hexazecimal─â a oric─ârei cifre f─âr─â a le cunoa╚Öte pe cele dinainte:

    \[\pi=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{16^k}(\frac{4}{8k+1}-\frac{2}{8k+4}-\frac{1}{8k+5}-\frac{1}{8k+6})\]



Folosind o formulă similară, în anul 2000 s-a stabilit că bitul cu numărul 1.000.000.000.000.000 al lui \pi este 0.

Obsesia pentru acest num├ór a dus la inventarea a╚Öa-ziselor ÔÇŁpiemeÔÇŁ, poezii ale c─âror cuvinte, ├«n ordine, au tot at├ótea litere c├ót are cifra cu acela╚Öi num├ór de ordine ├«n scrierea lui \pi. Cartea Recordurilor ├«l men╚Ťioneaz─â ├«n 2005 pe studentul chinez de 24 de ani Lu Chao, care a memorat nu mai pu╚Ťin de 67.890 de cifre ale faimosului num─âr. Timpul ├«n care le-a ÔÇŁrecitatÔÇŁ f─âr─â gre╚Öeal─â este de 24 de ore ╚Öi 4 minute. Probabil c─â aceast─â fascina╚Ťie va continua, exist├ónd ╚Öi ast─âzi c├óteva probleme deschise ├«n leg─âtur─â cu \pi, cea mai cunoscut─â fiind despre ÔÇŁnormalitateaÔÇŁ acestuia, adic─â referitor la distribu╚Ťia uniform─â sau nu a cifrelor ├«n scrierea sa, ├«n orice baz─â de numera╚Ťie.

De-a lungul timpului, num─ârul \pi ╚Öi-a g─âsit aplicabilitatea ├«n diverse domenii (geometrie, trigonometrie, analiz─â matematic─â, numere complexe, integrabilitate, statistic─â ╚Öi probabilit─â╚Ťi, mecanic─â, fizic─â, etc.

Reprezentarea binar─â a lui pi

╚śi pentru c─â este un num─âr care fascineaz─â ╚Öi ├«n ziua de azi genera╚Ťiile de elevi, dar mai ales pentru larga sa popularitate, Senatul american a decretat ziua de 14 martie (care ├«n scriere anglo-saxon─â a datei este 3/14) drept ziua num─ârului \pi, zi care este s─ârb─âtorit─â ├«n ╚Öcoli ╚Öi universit─â╚Ťi din Statele Unite, dar care se r─âsp├ónde╚Öte rapid ╚Öi ├«n afara t─ârilor anglo-saxone.

Distribuie

Las─â un r─âspuns

Adresa ta de email nu va fi publicată. Câmpurile obligatorii sunt marcate cu *

Derulează în sus